ИДЗ 2

Обратите внимание, что задача про НОД многочлена по модулю и задача про восстановление перестановки по номеру могли измениться. Кроме того, изменилось слово в задаче про RSA

Вариант 1

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(45,47,31,59)$, открытый ключ $(65, 7)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: у: 0, м: 37, т: 73, з: 77, и: 87, а: 90. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 470?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6524731?
  5. Вычислите НОД многочленов $3 x^{4} + 6 x^{3} + 3 x^{2} + 9$ и $-3 x^{4} - 7 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 3$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2$ и $x^{4} + 2 x^{2} + 2 x + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $9400$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${9, 11, 12, 16}$?

Вариант 2

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(91,98,53,60)$, открытый ключ $(119, 23)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: к: 2, у: 9, л: 14, я: 79, г: 90, а: 91. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2234?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6724513?
  5. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 11 x + 6$ и $3 x^{4} + 2 x^{3} + 11 x^{2} + 9$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + 1$ и $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $6765$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${9, 11, 16, 19}$?

Вариант 3

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(141,11,19,166)$, открытый ключ $(221, 101)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: и: 3, й: 30, б: 46, у: 47, а: 48, ц: 52. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 756?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 5321467?
  5. Вычислите НОД многочленов $6 x^{4} - 11 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x + 6$ и $3 x^{4} + 8 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 6$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 1$ и $x^{4} + 3 x^{3} + 4 x + 2$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $5200$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${13, 14, 16, 19}$?

Вариант 4

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(25,16,9,74)$, открытый ключ $(77, 49)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: е: 1, о: 56, ф: 63, ь: 64, л: 89, р: 96. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 3378?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 3461275?
  5. Вычислите НОД многочленов $-4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 7 x + 2$ и $4 x^{4} + 8 x^{3} + x^{2} + x - 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $5 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2$ и $4 x^{4} + 3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 6$ над $\mathbf{Z}_7[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $7865$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${3, 4, 14, 17}$?

Вариант 5

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(76,166,152,185)$, открытый ключ $(221, 59)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: и: 8, г: 48, п: 51, д: 64, в: 72, о: 84. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2225?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6152473?
  5. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - 2$ и $-2 x^{4} + 7 x^{3} + x^{2} - 7 x - 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} + 6 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x + 1$ и $4 x^{4} + x^{2} + 3 x + 6$ над $\mathbf{Z}_7[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $6016$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${4, 13, 15, 18}$?

Вариант 6

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(19,9,13,25)$, открытый ключ $(55, 23)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: о: 1, а: 36, ф: 58, с: 83, й: 89, д: 99. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 924?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 3675412?
  5. Вычислите НОД многочленов $-6 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x + 4$ и $6 x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} - x + 6$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 1$ и $2 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $1337$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${8, 15, 17, 19}$?

Вариант 7

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(59,58,57,63)$, открытый ключ $(65, 31)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: п: 53, в: 63, р: 72, о: 90, л: 96, а: 99. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 354?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2671453?
  5. Вычислите НОД многочленов $3 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 1$ и $-3 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 5 x + 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 4 x + 2$ и $x^{4} + 3 x^{3} + 4 x + 2$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $2316$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${11, 15, 18, 19}$?

Вариант 8

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(24,33,2,20)$, открытый ключ $(65, 11)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: у: 15, а: 37, т: 53, и: 54, ц: 72, к: 98. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 3147?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6237154?
  5. Вычислите НОД многочленов $-6 x^{4} - 7 x^{3} - 13 x^{2} - 7 x - 3$ и $-6 x^{4} - 9 x^{3} - 14 x^{2} - 10 x - 3$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 4$ и $3 x^{4} + 3 x^{2} + x + 3$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $8627$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${7, 12, 13, 19}$?

Вариант 9

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(117,74,36,183)$, открытый ключ $(187, 29)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: р: 4, ы: 13, с: 19, и: 25, а: 27, х: 35. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 4434?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2476513?
  5. Вычислите НОД многочленов $x^{4} - x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 2$ и $3 x^{4} + 9 x^{3} + x^{2} - 7 x + 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $6 x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 2$ и $3 x^{4} + 3 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 2$ над $\mathbf{Z}_7[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $5356$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${8, 12, 17, 19}$?

Вариант 10

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(177,94,52,63)$, открытый ключ $(187, 39)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: а: 0, л: 8, д: 51, з: 61, р: 63, е: 70. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 4648?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 4132756?
  5. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4$ и $x^{4} + 5 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 6$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 1$ и $3 x^{4} + 6 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5$ над $\mathbf{Z}_7[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $3281$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${3, 4, 10, 14}$?

Вариант 11

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(149,96,36,26)$, открытый ключ $(187, 69)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: е: 2, я: 32, х: 37, и: 54, н: 63, а: 79. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2763?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6217534?
  5. Вычислите НОД многочленов $-3 x^{4} + 5 x^{3} - 3 x + 1$ и $-2 x^{4} + 5 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x - 3$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} + 3 x^{2} + x + 2$ и $x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $4495$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${2, 9, 11, 17}$?

Вариант 12

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(58,43,81,40)$, открытый ключ $(85, 31)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: ц: 5, ь: 14, е: 51, л: 53, б: 65, а: 91. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2833?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 5164237?
  5. Вычислите НОД многочленов $6 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 6$ и $6 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2} + x + 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 2$ и $x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $9898$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${6, 8, 9, 19}$?

Вариант 13

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(49,13,17,8)$, открытый ключ $(55, 23)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: л: 11, у: 16, с: 33, п: 36, о: 53, х: 58. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 467?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 4531276?
  5. Вычислите НОД многочленов $6 x^{4} + 3 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x - 1$ и $4 x^{4} + 8 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x + 1$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 1$ и $x^{4} + x^{2} + 1$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $6869$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${9, 10, 11, 13}$?

Вариант 14

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(46,42,39,110)$, открытый ключ $(143, 19)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: р: 6, а: 13, б: 34, з: 66, л: 74, е: 87. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 1349?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 5642137?
  5. Вычислите НОД многочленов $-9 x^{4} - 6 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x - 2$ и $-6 x^{4} - 15 x^{3} - 17 x^{2} - 9 x - 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 1$ и $2 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $2955$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${4, 7, 13, 18}$?

Вариант 15

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(40,97,45,128)$, открытый ключ $(221, 103)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: п: 15, а: 32, к: 42, э: 45, ж: 51, и: 77. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 1148?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6324751?
  5. Вычислите НОД многочленов $-3 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} - 4 x - 2$ и $-3 x^{4} - x^{3} + 9 x^{2} - 8 x + 6$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ и $4 x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $1877$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${5, 7, 11, 13}$?

Вариант 16

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(45,41,65,25)$, открытый ключ $(77, 23)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: т: 13, а: 34, и: 36, о: 50, р: 54, ц: 89. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2804?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2375146?
  5. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} - 7 x^{3} + 7 x^{2} - 7 x + 2$ и $-3 x^{4} + 10 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x + 4$ и $2 x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 3$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $4542$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${2, 3, 7, 11}$?

Вариант 17

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(38,164,59,3)$, открытый ключ $(187, 77)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: е: 4, и: 24, о: 26, д: 50, р: 88, м: 92. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 4637?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 4732615?
  5. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 15 x - 9$ и $4 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 7 x - 3$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $6 x^{4} + 6 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 5$ и $5 x^{4} + 5 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 6$ над $\mathbf{Z}_7[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $1511$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${2, 5, 11, 17}$?

Вариант 18

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(20,85,50,80)$, открытый ключ $(143, 23)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: д: 2, и: 39, с: 49, е: 71, н: 82, ь: 86. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2776?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6452317?
  5. Вычислите НОД многочленов $6 x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ и $6 x^{4} + 8 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 1$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $5 x^{4} + x^{2} + x + 2$ и $5 x^{4} + 5 x^{2} + 5$ над $\mathbf{Z}_7[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $5656$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${13, 15, 17, 19}$?

Вариант 19

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(43,63,32,70)$, открытый ключ $(85, 29)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: д: 12, а: 22, п: 39, н: 50, у: 63, с: 89. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2050?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 4216753?
  5. Вычислите НОД многочленов $-2 x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 2$ и $x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 8 x - 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 2$ и $x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $7102$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${13, 15, 18, 19}$?

Вариант 20

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(60,63,52,59)$, открытый ключ $(65, 43)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: а: 5, с: 12, и: 49, ф: 60, к: 69, ж: 86. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 1383?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2145673?
  5. Вычислите НОД многочленов $-3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 3$ и $-x^{4} + x^{3} + 3 x - 9$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + x^{2} + 1$ и $2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 1$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $2629$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${6, 10, 11, 15}$?

Вариант 21

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(81,48,49,56)$, открытый ключ $(85, 11)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: т: 21, а: 31, ё: 44, ж: 81, л: 85, п: 95. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 55?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6314275?
  5. Вычислите НОД многочленов $-2 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4$ и $-3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2} - 6 x + 4$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 2 x^{2} + x + 2$ и $x^{4} + x^{2} + 1$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $9605$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${7, 10, 12, 17}$?

Вариант 22

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(75,30,41,35)$, открытый ключ $(77, 43)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: е: 6, о: 18, л: 41, ь: 50, к: 82, б: 97. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 3615?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2753641?
  5. Вычислите НОД многочленов $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} + 4 x - 6$ и $-3 x^{4} + 6 x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 3$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $3 x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2} + x + 2$ и $5 x^{4} + 5 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1$ над $\mathbf{Z}_7[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $5381$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${6, 8, 10, 15}$?

Вариант 23

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(52,20,8,72)$, открытый ключ $(85, 43)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: м: 6, е: 29, а: 37, ь: 50, к: 85, д: 90. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 759?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 5237461?
  5. Вычислите НОД многочленов $2 x^{4} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x - 6$ и $-6 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 8 x + 6$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + 1$ и $x^{4} + x^{2} + 1$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $3298$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${4, 9, 13, 14}$?

Вариант 24

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(81,130,108,63)$, открытый ключ $(143, 43)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: о: 24, е: 34, к: 44, с: 56, и: 84, л: 94. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 4937?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 5712364?
  5. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} - 4 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 2$ и $-6 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2} - 4$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ и $3 x^{4} + 2 x^{3} + x + 4$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $3929$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${11, 13, 15, 17}$?

Вариант 25

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(59,74,75,55)$, открытый ключ $(85, 27)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: а: 1, ц: 18, щ: 27, р: 50, о: 90, и: 95. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 3135?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6247315?
  5. Вычислите НОД многочленов $-4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 6$ и $-6 x^{4} + 15 x^{3} - 13 x^{2} + 3 x + 2$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2$ и $3 x^{4} + 2 x^{3} + x + 4$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $9272$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${6, 9, 13, 17}$?

Вариант 26

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(59,64,8,10)$, открытый ключ $(85, 3)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: т: 13, а: 32, в: 47, ш: 49, и: 53, к: 54. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 614?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2513674?
  5. Вычислите НОД многочленов $-3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 6$ и $6 x^{4} + 15 x^{3} + 12 x^{2} - 9$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + x^{3} + x + 1$ и $x^{4} + 2 x^{2} + 2 x + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $8800$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${13, 14, 15, 16}$?

Вариант 27

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(25,16,54,71)$, открытый ключ $(77, 17)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: ш: 1, е: 22, м: 70, к: 72, т: 88, у: 90. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 96?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 6731524?
  5. Вычислите НОД многочленов $6 x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} + 4$ и $-6 x^{4} - 8 x^{3} - 7 x^{2} + x + 6$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $3 x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} + 4$ и $3 x^{4} + 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $8682$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${8, 9, 13, 17}$?

Вариант 28

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(54,65,28,72)$, открытый ключ $(85, 35)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: к: 4, а: 30, о: 52, м: 76, т: 83, е: 92. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 2626?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2174356?
  5. Вычислите НОД многочленов $-3 x^{4} + 5 x^{2} + 4 x + 1$ и $3 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 1$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $3 x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} + 4$ и $2 x^{4} + 3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $1164$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${9, 10, 11, 12}$?

Вариант 29

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(68,25,55,101)$, открытый ключ $(119, 59)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: п: 10, с: 22, а: 52, и: 55, ф: 61, р: 80. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 3714?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 2754136?
  5. Вычислите НОД многочленов $-9 x^{4} - 8 x^{2} - 4 x - 3$ и $-6 x^{4} + 7 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x - 3$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 4 x^{2} + 3 x + 2$ и $4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2$ над $\mathbf{Z}_5[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $5900$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${9, 15, 16, 19}$?

Вариант 30

  1. Сообщение зашифровано с помощью алгоритма RSA. Для этого каждая буква была заменена на её порядковый номер в алфавите (счёт начинается с 2, без буквы ё), после чего зашифрована независимо от других букв. Шифрованое сообщение: $(111,76,128,4)$, открытый ключ $(221, 139)$. Восстановите закрытый ключ и расшифруйте сообщение, в ответе должно получиться русское слово из 4 букв.
  2. Определите оптимальный префиксный код для символов сообщения, с указанными частотами символов: т: 6, а: 11, ж: 40, к: 79, ё: 93, с: 94. При восстановлении кода, выдавайте символу с меньшей частотой — 0, а с большей — 1.
  3. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какая перестановка идет под номером 877?
  4. Если упорядочить все перестановки чисел от 1 до 7, какой по счету будет перестановка 3174526?
  5. Вычислите НОД многочленов $-6 x^{4} + 9 x^{3} - 16 x^{2} + 11 x - 6$ и $-6 x^{4} + 3 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x + 6$ над $\mathbf{R}[x]$
  6. Вычислите НОД многочленов $x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x + 1$ и $2 x^{4} + 2$ над $\mathbf{Z}_3[x]$
  7. Сколько чисел от $1$ до $7419$ делится хотя бы на одно из этих чисел: ${2, 5, 7, 11}$?