Продолжаем лекцию. В прошлый раз: НОД, НОК, узнали Утверждение, что на НОК делится любое общее кратное. 3 | 72 (3 делит 72, 72 делится на 3) 4 | 72 72 - Общее кратное 3, 4 НОК(3, 4) = 12 Действительно, 12 | 72 Утверждение. a,b целые, оба не 0. (a, b) * [a, b] = a*b Д-во рассмотрим X = ab / (a,b) X = ( a/(a,b) ) * b => b | X = ( b/(a,b) ) * a => a | X В скобках целые числа, т.к. (a,b) это делитель и a, и b Получается, что X - общее кратное a и b. Но мы знаем, что Общее кратное делится на [a,b] => X = [a,b]*q, где q целое. [a,b]*q = ab / (a, b) => [a,b] / b = a / ((a,b)*q) Слева число целое, потому что [a,b] - это НОК Значит, справа тоже целое. Значит (a,b)*q | a Аналогично, (a,b)*q | b НО!!!! (a,b) это уже наибольший общий делитель, не может делить (a,b)*q быть больше, значит, q = 1. (a,b)*q <= (a,b) => q <= 1. Доказали: (a,b)*[a,b] = a*b Следствие. Отсюда следует, что НОД(a,b) делится на любой общий делитель a и b. (a,b) = a*b / [a,b] Упражнение. Утверждение. a, b, c целые. с != 0 Если c | a*b, при этом (b,c) = 1. Тогда c | a Например, 11 | 220. Но (10, 11) = 1. Тогда 11 | 22, это верно. Доказательство. a b / c рассмотрим это число Упражнение. ## Основная теорема арифметики Любое натуральное число единственным образом раскладывается на произведение простых чисел. Простое число - это число, которое делится только на 1 и на себя. 1 | 11 11 | 11 x | 11 => x = +-1, x = +-11 Примеры: 1000 = 10 * 10 * 10 = 2 * 5 * 2 * 5 * 2 * 5 91 = 7 * 13 111 = 3 * 37 Доказательство. 1. Любое число можно разложить на простые множители: По Индукции. База n = 1: <> пусто, нет ни одного простого = [] n = 2: 2 = [2] n = 3: 3 = [3] n = 4: 2*2 = [2, 2] n = 5: 5 = [5] n = 6: 2*3 = [2, 3] Переход. Доказываем, что n можно разложить на простые множители, при этом есть предположение индукции, все числа, меньшие n, разложить можно. 1) если n простое, то это и есть его разложение: n = n 2) если n составное, т.е. n = a * b, где a < n, b < n. Для a и b выполняется индукционное предположение. a = p1*p2*.... b = q1*q2*.... n = a*b = p1*p2*.... * q1*q2*.... Доказано, что любое число можно разложить. 2. Единственность разложения. Т.е. если n разложено на произведения простых чисел двумя способами, то эти способы совпадают с точностью до перестановки множителей. 12 = 2 * 2 * 3 = 2 * 3 * 2 = 3 * 2 * 2 - совпадает с точностью до перестановки. Доказательство. Пусть есть два разложения: n = p1 * p2 * p3 * .... n = q1 * q2 * q3 * .... где pi, qi простые q1 * q2 * q3 * .... = n = p1 * ........ Поймем, что среди qi тоже есть p1. Иначе, (q1, p1) = 1 - т.к. два разных простых числа не могут иметь общих делителей кроме 1. (q2, p1) = 1 (q3, p1) = 1 и т.д. p1 | q1 * q2 * q3 * ... => p1 | q2 * q3 * ... => p1 | q3 * ... => ... => p1 | 1 Это невозможно, т.к. p1 простое, т.е. p1 >= 2. Получилось, что p1 * p2 * p3 * ... = q1 * q2 * q3 * ... сокращаем на p1, справа тоже сократиться какой-то qi, и множителей станет меньше. Продолжаем процесс, пока все множители не исчезнут. Получается, что все множители слева и справа одинаковые. Итого, разложение на простые существует и единственно. Будем записывать разложение на простые в следующей форме: n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak Т.е. все одинаковые простые числа объединяются вместе под одной степенью. Например, 100 = 10 * 10 = 2 * 5 * 2 * 5 = 2^2 * 5^2. 42 = 2 * 21 = 2 * 3 * 7 = 2^1 * 3^1 * 7^1. 12 = 2^2 * 3^1 1001 = 7^1 * 11^1 * 13^1 Утверждение. Как вычислять НОД чисел, разложенных на простые: Примеры: НОД(10, 24) 10 = 2^1 * 5^1 24 = 2^3 * 3^1 Какие здесь будут общие простые делители? Это только одна двойка. Ответ НОД(10, 24) = 2 НОД(140, 98) 140 = 10 * 14 = 2 * 5 * 2 * 7 = 2^2 * 5^1 * 7^1 = 2^2 * 5^1 * 7^1 98 = 2 * 49 = 2^1 * 7^2 = 2^1 * 5^0 * 7^2 (0 степень = нет) есть общая 2 и общая 7 Ответ 2^1 * 7^1 = 14 НОД(324, 180) 324 = 4 * 81 = 2^2 * 3^4 180 = 10 * 18 = 2 * 5 * 2 * 9 = 2^2 * 3^2 * 5^1 Общие две 2, две 3. Ответ НОД(324, 180) = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36. Утверждение, m > 0, n > 0 целые. d = НОД(m, n) m = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak (множители те же, но другие степени) n = p1^b1 * p2^b2 * ... * pk^bk (чтобы уравнять набор множителей, введем 0 степени) Тогда d = НОД(m,n) = p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * ... pk^ck, где ci = min(ai, bi) Пример. 140 = 2^2 * 5^1 * 7^1 98 = 2^1 * 5^0 * 7^2 --------------------- выбираем min степень НОД = 2^1 * 5^0 * 7^1 = 14 Пример. 10 = 2^1 * 3^0 * 5^1 24 = 2^3 * 3^1 * 5^0 --------------------- выбираем min степень НОД = 2^1 * 3^0 * 5^0 = 2 Доказательство. 1. Проверим, что полученное число d (где степени взяты как минимумы), действительно общий делитель. n = p1^a1 * p2^a2 * ... pk^ak d = p1^c1 * p2^c2 * ... pk^ck Проверим, что n делится на d n p1^a1 p2^a2 p3^a3 pk^ak --- = ----- * ---- * ------ * .... * ----- = d p1^c1 p2^c2 p3^c3 pk^ck = p1^(a1 - c1) * p2^(a2 - c2) * ... * pk^(ak - ck) = целое число. все степень ai - ci >= 0. Потому что ci = min(ai, bi), т.е. ci <= ai Аналогично, d делит m. 2. Мы поняли, что это общий делитель, но почему он наибольший? Попробуем взять какой-нибудь любой общий делитель, и посмотрим, как он раскладывается на простые множители. d' = общий делитель = p1^x1 * p2^x2 * ... * pk^xk * q1^y1 * ... (q - это новые простые, которых не было в m и n, поэтому и степень ему новая) Давайте считать, что они все-таки были, но в степенях 0. m = ... * q1^0 n = ... * q1^0 мы сейчас все равно поймем, что НОД(m,n) = .... * q1^min(0, 0) = ... * q1^0. Почему же xi <= min(ai, bi)? Пусть xi > min(ai, bi), т.е. xi > ai или xi > bi. Для определенности будем считать, что xi > ai. Тогда n = p1^a1 * ... * pi^ai * .... pk^ak d' = p1^x1 * ... * pi^xi * .... pk^xk d' | n => pi^xi | n => n p1^a1 * ... * pi^ai * .... pk^ak ----- = ---------------------------------- - целое число pi^xi pi^xi сократим на pi^ai. Мы помним, что xi > ai p1^a1 * ... * 1 * .... * pk^ak = ------------------------------ pi^(xi - ai) но xi - ai > 0 => xi - ai >= 1 т.е числитель делится на pi (в первой степени, нам достаточно, что в первой) pi | p1^a1 * ... * 1 * .... * pk^ak Но все множители справа это другие простые числа, не pi НОД(p1, pi) = 1 НОД(p2, pi) = 1 ... НОД(pk, pi) = 1 Значит, их все можно сократить (c | ab, (b,c)=1 => с | a) Значит pi | 1 ???? противоречие. Поэтому у всех общих делителей степени xi <= min(ai, bi) Значит, максимальный делитель получится, если все xi = min(ai, bi). Доказано. Аналогичное утверждение о НОК: