Лекция по ДМ

https://youtu.be/5rM4IMoCUp0

Напишите что-нибудь в чат, пожалуйста.

http://students.iposov.spb.ru

Дискретная математика = Теория чисел + Комбинаторика.

===================================

Алгоритмы теории чисел

1. Деление с остатком

Вспоминаем школу. 11 при делении на 3 дает остаток 2.
Это означает, что если убрать 2 из 11, то результат
поделится на 3. 11 - 2 делится на 3.

Определение "деление с остатком"
Даны два целых числа a и b. b > 0.
Тогда выражение a = bq + r, где 0 <= r < b
называется делением a с остатком на b.
q - неполное частное
r - остаток

17 делим на 3

17 = 3*5 + 2
5 - неполное частное (17/3 = 5.6666 округлить _вниз_,
т.е. к -oo).
2 - остаток

17 = 3 * 4 + 5
Это не деление с остатком, потому что 5>=3.
При делении на 3 остаток может быть только 0, 1, 2

Еще примеры

100 делим на 7.
100 = 7*14 + 2     = 98 +2
14 - неполное частное
2 - остаток.

Замечание. Если a делится на b, то остаток 0:

10 = 2 * 5 + 0
Остаток при делении 10 на 2 равен 0
(неполное) частное = 5

Что если делим отрицательные числа

-17 делим на 3
-17 = 3 * (-5) - 2  - НЕ деление с остатком
-17 = 3 * (-6) + 1 - Да. Остаток 1:  0 <= 1 < 3

Нарисуем на оси числа и их остатки по модулю 4.

x:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8
остаток от деления x на 4:
 3  0  1  2  3  0  1  2  3  0  1  2  3  0  1  2  3  0
                            
5 = 4*1 + 1
0 = 4*0 + 0
3 = 4*0 + 3
4 = 4*1 + 0
-4 = 4*(-1) + 0
-3 = 4*(-1) + 1

Вывод: на числовой оси остатки идут по циклу 0-1-2-3-

Будьте внимательны в C/C++/Java и т.д. Там оператор %
поиска остатка не так работает с отрицательными
числами.

Обозначение a mod b это остаток от деления a на b
Примеры
11 mod 3 = 2
9 mod 4 = 1
-3 mod 4 = 1

Теорема: Деление с остатком определено однозначно.
Т.е. если даны a, b - целые. b > 0
Тогда существует и единственны целые q и 0 <= r < b
такие, что
a = b*q + r

Доказательство.
Существование.
Если a >= 0, то делаем следующее
a1 = a - b
Если a1 >= 0
a2 = a1 - b = a - 2b
Если a2 >= 0
a3 = a2 - b = a - 3b
Получаем последовательность a, a1, a2, a3 целые
неотрицательные, и каждый следующий меньше
предыдущего a_i < a_{i-1}. Такой ряд не может быть
бесконечный. В какой-то момент a_k окажется меньше b.
Это и будет остаток. a_k = a - k*b < b
a = k*b + a_k это ровно то, что нужно.
неполное частное q = k

Аналогично разбирается ситуация с a <= 0, но надо
добавлять b.

Единственность.
Пусть поделили двумя способами
a = q1*b + r1
a = q2*b + r2

Проверим, что на самом деле это один и тот же способ
вычтем равенства
0 = (q1-q2)*b + (r1 - r2)
перепишем так:
r1 - r2 = -(q1-q2)*b

b|0  (это означет, что b делит 0 или 0 делится на b)
(у нас более принято 0...b, три вертикальных точки)

b | (q1-q2)*b т.к. здесь b множитель

Следовательно, r1 - r2 делится на b
но r1 >= 0, r2 < b, поэтому r1 - r2 > -b
   r1 < b, r2 >= 0, поэтому r1 - r2 < b
Т.е.  -b < r1 - r2 < b
и b | r1 - r2
Но это может быть только 0. Поэтому r1 - r2 = 0
Поэтому r1 = r2
Поэтому q1*b + r1 = q2*b + r2   =>   q1*b = q2*b
=> q1 = q2.
Доказали.

Замечание. Понятие деления с остатком будет у нас 
и дальше. Мы будем делить многочлены с остатком. 
Многие утверждения, которые мы получим для чисел
так же будут работать и для многочленов.

======

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Определение. Пусть даны два числа a и b, целые не 0
Тогда
1. d - общий делитель a и b, если d | a, d | b
2. Наибольший общий делитель a и b - наибольший из их
общих делителей.
3. m - общее кратное a и b, если a | m, b | m
4. Наименьшее общее кратное a и b - наименьшее из их
положительных общих кратных.

Примеры

6 и 14

Общие делители 6 и 14 это 1, **2**, -1, -2
НОД 6 и 14 = 2

Общие кратные 4 и 6 это 12. 4|12, 6|12.
24 36 и т.д. Их бесконечно много
Наименьшее общее кратное это 12

Обозначения
(a, b) = НОД a и b еще бывает НОД(a,b), gcd(a,b)
[a, b] = НОК a и b            НОК(a,b), lcm(a,b)

Пример
(4, 6) = 2
[4, 6] = 12

Замечание
НОД всегда хотя бы 1
(a, b) >= 1
т.к. 1 - всегда общий делитель

Утвержение. Пусть a, b целые не нули.
d = (a, b)
m = [a, b]
пусть d' общий делитель (не обязательно наибольший)
пусть m' общее кратное (не обязательно наименьшее)

Тогда
d' | d
m | m'

Пример.

Общие делители 12 и 18: 1, 2, 3, 6
(12, 18) = 6
Все остальные делители делят 6: 1|6  2|6  3|6  6|6

[12, 18] = если подумать = ... 12=6*2 18=6*3
         = 6*2*3 = 36. (точные способы см. дальше)
Все остальные общие кратные делятся на 36. 72 и т.д.

Доказательство утверждения.
Доказательства очень похожи для НОК и НОД.

m' делим с остатком на m.
m' = q*m + r <=> r = m' - q*m
a | m'
a | m
=> a | r  (справа число делится на a)
аналогично, справа число делится на b.
Получается, что r - общее кратное a и b.
Но !!! r < m, которое наименьшее общее кратное.
Это просто значит, что r = 0. 
Значит, остаток 0, значит m' делится на m